Question

已知过抛物线y²=4x焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，若|AF|=4，则|BF|=

 

．

Answer 1

分析：根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入

1

|AF|

+

1

|BF|

可得其值为1，再由|AF|=4，即可得到|BF|．

解答：解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．
设过F点直线方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程，得 k²（x-1）²=4x．
化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁x₂=1
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

x1+1+x2+1

(x1+1)(x2+1)

=

x1+x2+2

x1+x2+x1x2+1

=

x1+x2+2

x1+x2+2

=1，
又由|AF|=4，则|BF|=

1

1- 1 4

=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．