Question

如图，F是中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C的右焦点，\直线l：x=4是椭圆C的右准线，F到直线l的距离等于3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P是椭圆C上动点，PM⊥l，垂足为M．是否存在点P，使得△FPM为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知，得出a，b的方程，解得a，b．最后写出椭圆C的方程即可；
（2）由

PF

PM

=e=

1

2

，得PF=

1

2

PM．∴PF≠PM．下面分类讨论：①若PF=FM，②若FM=PM，结合已知条件求得第②情形存在点P（

4

7

，±

3 15

7

），使得△PFM为等腰三角形．

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，得

a2 c =4 a2 c -c=3

∴

a=2 c=1

∴b=

3

．
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由

PF

PM

=e=

1

2

，得PF=

1

2

PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，则PF+FM=PM，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF不可能与PM相等．
②若FM=PM，设P（x，y）（x≠±2），则M（4，y）．
∴

32+y2

=4-x，∴9+y²=16-8x+x²，又由

x2

4

+

y2

3

=1，得y²=3-

3

4

x²．
∴9+3-

3

4

x²=16-8x+x²，∴

7

4

x²-8x+4=0．∴7x²-32x+16=0．
∴x=

4

7

或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=

4

7

．∴P（

4

7

，±

3 15

7

）．
综上，存在点P（

4

7

，±

3 15

7

），使得△PFM为等腰三角形．

点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题的关键是要认真审题，仔细解答，注意合理地选用反证法的思想方法证题．