Question

（2008•天河区模拟）已知函数f（x）=[sin（

π

2

+x）-sinx]²+m．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）的最大值为3，求m的值．

Answer 1

分析：先对原函数进行整理得到f（x）=1-sin2x+m；
（1）直接代入周期计算公式即可；
（2）直接把sin2x=-1代入即可求出结论．

解答：解：因为f（x）=（cosx-sinx）²+m…（2分）
=cos²x+sin²x-2cosx•sinx+m…（4分）
=1-sin2x+m…（6分）
（1）f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π． …（9分）
（2）当sin2x=-1时f（x）有最大值为2+m，…（12分）
∴2+m=3，
∴m=1．…（13分）

点评：本题主要考察正弦函数的值域的应用．解决本题的关键在于根据诱导公式以及同角三角函数之间的关系得到f（x）=1-sin2x+m．