Question

3．设a，b，c∈R₊，且abc=1，求$\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$+$\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$+$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$的最小值．

Answer 1

分析 根据$\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$=$\frac{bc}{a（b+c）}$=$\frac{{（bc）}^{2}}{b+c}$ ①，同理可得 $\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$=$\frac{{（ac）}^{2}}{a+c}$ ②，$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$=$\frac{{（ab）}^{2}}{a+b}$ ③，把①②③相加，再利用基本不等式求得 $\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$+$\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$+$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$ 的最小值．

解答 解：∵abc=1，∴$\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$=$\frac{bc}{a（b+c）}$=$\frac{{（bc）}^{2}}{b+c}$ ①，
同理可得 $\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$=$\frac{{（ac）}^{2}}{a+c}$ ②，$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$=$\frac{{（ab）}^{2}}{a+b}$ ③，
把①②③相加可得 $\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$+$\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$+$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$=$\frac{{（bc）}^{2}}{b+c}$+$\frac{{（ac）}^{2}}{a+c}$+$\frac{{（ab）}^{2}}{a+b}$≥3$\root{3}{\frac{1}{（a+b）（b+c）（a+c）}}$，
当且仅当a=b=c=1时，取等号，故 $\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$+$\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$+$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$≥$\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{{a}^{2}（b+c）}$+$\frac{1}{{b}^{2}（c+a）}$+$\frac{1}{{c}^{2}（a+b）}$的最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查柯西不等式、基本不等式，式子的变形是解题的关键，属于中档题．