Question

【题目】已知圆和直线l:

(1)证明：不论取何值时，直线和圆总有两个不同的交点；

(2)求当取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求最短的弦长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）时有最短弦长为.

【解析】

1根据直线l方程可知直线l恒过定点，求出距离小于半径，知定点M在圆内，即可得直线l与圆C必相交；2当直线直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，求直线MC的斜率，得直线l斜率，利用垂径定理，勾股定理求出最短弦长即可．

1证明：根据题意得：直线

即恒过点，

圆心，半径为4，

，

在圆内，则直线l与圆C必相交；

2当直线直线MC时，直线l被圆C截得的弦长最短，

，则直线MC的方程为：，即，

直线l斜率为2，直线l过点M，

直线l方程为，即；

根据题意得：最短弦长为．

即时有最短弦长为.