Question

17．已知f（x）=lnx+x-$\frac{m}{x}$+1．
（1）当m=0时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）讨论y=f（x）的单调性；
（3）当m=-2时，求y=f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）求出f（x）的导数，对m讨论，当m≥$\frac{1}{4}$，当0＜m＜$\frac{1}{4}$时，当m≤0时，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；
（3）求出导数，求得极值点，求出极值和端点处的函数值，即可得到值域．

解答 解：（1）当m=0时，f（x）=lnx+x+1的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
即有f（x）在（1，f（1））处的切线斜率为2，切点为（1，2），
可得f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-2=2（x-1），
即为y=2x；
（2）f（x）=lnx+x-$\frac{m}{x}$+1的导数为
f′（x）=$\frac{1}{x}$+1+$\frac{m}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x+m}{{x}^{2}}$，x＞0．
由x²+x+m=（x+$\frac{1}{2}$）²+m-$\frac{1}{4}$，
当m≥$\frac{1}{4}$，可得f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）递增；
当m≤0时，由f′（x）＞0，可得x＞$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$；
由f′（x）＜0，可得0＜x＜$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$；
当0＜m＜$\frac{1}{4}$时，f′（x）＞0，即有f（x）在（0，+∞）递增．
综上可得，m＞0，f（x）在（0，+∞）递增；
m≤0时，f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$）递减，在（$\frac{-1+\sqrt{1-4m}}{2}$，+∞）递增；
（3）当m=-2时，f（x）=lnx+x+$\frac{2}{x}$+1，
f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$，
由f′（x）=0，解得x=1（-2舍去），
由f（1）=4，f（$\frac{1}{e}$）=2e+$\frac{1}{e}$，f（e）=2+e+$\frac{2}{e}$．
即有f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值为2e+$\frac{1}{e}$，最小值为4．
则有f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的值域为[4，2e+$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．