题目内容

设f（x）、g（x）分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＞0且f（-3）=0，g（x）≠0，则不等式
f(x-2)g(2-x)
＜0的解集是
（-∞，-1）∪（2，5）
（-∞，-1）∪（2，5）
．
分析：先由当x＜0时，f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＞0，判断函数F（x）=
f(x)
g(x)
在（-∞，0）上为增函数，再由f（x）、g（x）分别是定义域在R上的奇函数和偶函数，判断函数F（x）=
f(x)
g(x)
在R上为奇函数，从而由对称性得函数F（x）=
f(x)
g(x)
在（-∞，0），（0．+∞）上为增函数，且F（-3）=0，F（0）=0，F（3）=0，最后利用奇偶性和单调性解不等式F（x-2）＜0即可
解答：解：∵当x＜0时，f'（x）g（x）-f（x）g'（x）＞0
∴当x＜0时，(
f(x)
g(x)
)′＞0，
∴函数F（x）=
f(x)
g(x)
在（-∞，0）上为增函数
∵f（x）、g（x）分别是定义域在R上的奇函数和偶函数
∴F（-x）=
f(-x)
g(-x)
=
-f(x)
g(x)
=-
f(x)
g(x)
=-F（x）
∴函数F（x）=
f(x)
g(x)
在R上为奇函数
∴函数F（x）=
f(x)
g(x)
在（-∞，0），（0．+∞）上为增函数，且F（-3）=0，F（0）=0，F（3）=0
∵不等式
f(x-2)
g(2-x)
＜0?
f(x-2)
g(x-2)
＜0?F（x-2）＜0?x-2＜-3或0＜x-2＜3?x＜-1或2＜x＜5
故答案为（-∞，-1）∪（2，5）
点评：本题考察了导数的四则运算，导数在函数单调性中的应用，函数奇偶性的应用等知识，解题时要能透过形式看到反应的数学本质，会利用函数性质解不等式
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设f（x），g（x）是实数集R上的奇函数，{x|f（x）＞0}={x|4＜x＜10}，{x|g（x）＞0}={x|2＜x＜5}，则集合{x|f（x）g（x）＞0}=
（4，5）∪（-5，-4）
（4，5）∪（-5，-4）
．
设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）=x2-3x+4与g（x）=2x-1在[a，b]上是“亲密函数”，则b-a的最大值是
1
1
．
已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范围．
（3）设h-1（x）是h（x）=log2x的反函数，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范围．
设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

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