Question

已知a，b，c∈R⁺，求证：lga+lgb+lgc≤lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

c+a

2

．

Answer 1

分析：根据基本不等式的性质可分别求得：∵

a+b

2

≥

ab

，

c+b

2

≥

bc

，

a+c

2

≥

ac

，三式相乘后结合对数的运算法则，整理后原式得证．

解答：证明：∵

a+b

2

≥

ab

，

c+b

2

≥

bc

，

a+c

2

≥

ac

…（3分）
三式相乘得

a+b

2

•

b+c

2

•

c+a

2

≥abc  …（5分）
即lga+lgb+lgc≤lg

a+b

2

+lg

b+c

2

+lg

c+a

2

．…（7分）
所以原不等式成立…（8分）

点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的时候要特别注意等号成立的条件．