Question

在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且cosA=

4

5

．
（1）求sin

B+C

2

+cos2A的值；
（2）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知可求cos

A

2

，cos2A=2cos²A-1，然后利用诱导公式及二倍角公式即可求解
（2）根据三角形的面积公式S=

1

2

bcsinA表示出三角形的面积，根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入，并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．

解答：解：（1）∵cosA=

4

5

=2cos2

A

2

-1且cos

A

2

＞0
∴cos

A

2

=

3 10

10

，cos2A=2cos²A-1=

7

25

由三角形的内角和可得，B+C=π-A
∴sin

B+C

2

+cos2A=cos

A

2

+cos2A=

3 10

10

+

7

25

（2）由余弦定理可得，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4

5

∴

8bc

5

=b²+c²-a²=b²+c²-4≥2bc-4
∴bc≤10
∴S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×10×

3

5

=3，即S的最大值为3

点评：此题属于解三角形的题型，考查的知识有：诱导公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及基本不等式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．