Question

某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，依题意，，
甲选答3道题目后进入决赛的概率为，
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为、，
所以，选手甲可进入决赛的概率．
（2）ξ可取3，4，5，
依题意，，
 ，
 ，
所以，ξ的分布列为：
，
∴。