Question

某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为

1

9

．
（1）求选手甲可进入决赛的概率；
（2）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试求ξ的分布列，并求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，根据甲答对每个问题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为

1

9

，列出关于P的方程，得到甲答对题目的概率，选手甲能够进入决赛包括两种情况，这两种情况是互斥的，由互斥事件的概率公式计算得到答案．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量的概率，最后一个变量的概率可以用1减去其余变量的概率得到，写出分布列做出期望．

解答：解：（1）设选手甲任答一题，正确的概率为p，
依题意(1-p)2=

1

9

，p=

2

3

，
甲选答3道题目后进入决赛的概率为(

2

3

)3=

8

27

，
甲选答4道、5道题目后进入决赛的概率分别为

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

=

8

27

，

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

16

81

，
∴选手甲可进入决赛的概率P=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

．
（2）由题意知ξ可取3，4，5，
依题意P(ξ=3)=

8

27

+

1

27

=

1

3

，
P(ξ=4)=

C

2 3

(

2

3

)2•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

，P(ξ=5)=

C

2 4

(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

3

+

C

2 4

(

1

3

)2•(

2

3

)2•

1

3

=

8

27

∴ξ的分布列为：

ξ	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴Eξ=3×

1

3

+4×

10

27

+5×

8

27

=

107

27

．

点评：本题考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目，考查的知识点比较全面，在应用独立重复试验的概率公式时，注意数字运算不要出错．