Question

（2013•宜宾二模）设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（Ⅰ） 若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ） 若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆上除M、N外的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，求证：k_PM•k_PN为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆C上的点A（1，

3

2

）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，利用椭圆的定义，即可写出椭圆C的方程和离心率；
（Ⅱ）设出点的坐标，表示出k_PM、k_PN，即可证明k_PM•k_PN为定值．

解答：（Ⅰ）解：根据已知条件：2a=4，即a=2，…（1分）
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

b2

=1．…（2分）
又A(1，

3

2

)为椭圆C上一点，则

1

4

+

9

4b2

=1，…（3分）
解得b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
∴c=

a2-b2

=1，…（5分）
∴椭圆C的离心率.e=

c

a

=

1

2

…（6分）
（Ⅱ）证明：设M、N是椭圆上关于原点对称点，设M（x₀，y₀），则N（-x₀，-y₀），
设P点坐标为（x，y），则

x 2 0

a2

+

y 2 0

b2

=1，…（8分）

x2

a2

+

y2

b2

=1…（9分）
即

y

2 0

=b2(1-

x 2 0

a2

)=

b2

a2

?(a2-

x

2 0

)，y2=b2(1-

x2

a2

)=

b2

a2

?(a2-x2)…（10分）
∴

k

PM

•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=

b2 a2 ?(a2-x2)- b2 a2 ?(a2- x 2 0 )

x2- x 2 0

=-

b2

a2

为定值．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义与几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．