Question

（Ⅰ）求过l₁：3x+4y-2=0与l₂：2x+y+2=0的交点，且平行于直线x-2y+3=0的直线的方程；
（Ⅱ）求垂直于直线x+3y-5=0，且与点P（-1，0）的距离是

3

5

10

的直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由所求直线过l₁与l₂的交点，故联立直线l₁与l₂的方程，求出交点坐标，然后再根据所求直线与直线x-2y+3=0平行，根据两直线平行时斜率相等，由已知直线的斜率得到所求直线的斜率，由求出的交点和斜率写出方程即可；
（Ⅱ）由所求直线与已知直线垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率得出所求直线的斜率，然后由求出的斜率设出所求直线的方程，根据点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可确定出所求直线的方程．

解答：解：（Ⅰ）联立直线l₁与l₂得：

3x+4y-2=0 2x+y+2=0

，
解得：

x=-2 y=2

，
∴直线l₁与l₂的交点为（-2，2），
∵所求直线与直线x-2y+3=0平行，且直线x-2y+3=0的斜率为

1

2

，
∴所求直线的斜率为

1

2

，
所求直线为：y-2=

1

2

（x+2），即x-2y+6=0；
（Ⅱ）∵所求直线与直线x+3y-5=0垂直，且直线x+3y-5=0的斜率为-

1

3

，
∴所求直线的斜率为3，
设所求直线方程为y=3x+b，
所以点P（-1，0）到所求直线的距离d=

|-3+b|

32+(-1)2

=

3

5

10

，
化简得：-3+b=6或-3+b=-6，
解得：b=9或b=-3，
则所求直线的方程为：y=3x+9或y=3x-3，即3x-y+9=0或3x-y-3=0．

点评：此题考查了两直线的交点坐标，点到直线的距离公式，以及直线的一般式方程，要求学生掌握两直线平行、垂直时，斜率分别满足的关系，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程，本题的第二小问有两解，都满足题意，学生做题时注意不要漏解．