题目内容
在棱长为2的正方形ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．（1）求直线EC与平面A1ADD1所成角的正弦值；
（2）求二面角E-AF-B的余弦值．
考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）由已知得∠ECB1为直线EC与平面A1ADD1所成角，由此能求出直线EC与平面A1ADD1成角的正弦值．
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．由此能求出二面角E-AF-B的余弦值．
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．由此能求出二面角E-AF-B的余弦值．
解答：
解：（1）∵平面A1ADD1∥平面B1BCC1，
∴直线EC与平面A1ADD1所成角，即为直线EC与平面B1BCC1所成角．
∵EB1⊥平面B1BCC1，即B1C为EC在平面B1BCC1内的射影，
故∠ECB1为直线EC与平面B1BCC1所成角，
在Rt△EB1C中，EB1=1，B1C=2
，
∴tan∠ECB1=
=
=
．
∴sin∠ECB1=
，
∴直线EC与平面A1ADD1成角的正弦值为
．…（6分）
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，
过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．
由题意得△ADF∽△AGE，
∴
=
，∴
=
，即GE′=
，
在Rt△EE′Q中，tan∠EGE′=
=
，
∴二面角E-AF-B的余弦值为
．…（12分）
∴直线EC与平面A1ADD1所成角，即为直线EC与平面B1BCC1所成角．
∵EB1⊥平面B1BCC1，即B1C为EC在平面B1BCC1内的射影，
故∠ECB1为直线EC与平面B1BCC1所成角，
在Rt△EB1C中，EB1=1，B1C=2
| 2 |
∴tan∠ECB1=
| EB1 |
| B1C |
| 1 | ||
2
|
| ||
| 4 |
∴sin∠ECB1=
| 1 |
| 3 |
∴直线EC与平面A1ADD1成角的正弦值为
| 1 |
| 3 |
（2）过E作平面ABC的垂线，垂足为E′，E′∈AB，
过E′作AF的垂线，设垂足为G，∠EGE′即为二面角E-AF-B的平面角．
由题意得△ADF∽△AGE，
∴
| G′E |
| AE′ |
| AD |
| AF |
| GE′ |
| 1 |
| 2 | ||
|
| 2 | ||
|
在Rt△EE′Q中，tan∠EGE′=
| EE′ |
| GE′ |
| 5 |
∴二面角E-AF-B的余弦值为
| ||
| 6 |
点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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