Question

设S_n是各项都是正数的等比数列{a_n}的前n项和，若

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1，则公比q的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先看当q=1时，求得，

Sn+Sn+2

2

=S_n+1，符合不等式，再分别看当q大于1和小于1两种情况，把等比数列的求和公式代入题设不等式，分别求得q的范围，最后综合可得答案．

解答：解：当q=1时，

Sn+Sn+2

2

=（n+1）a₁=S_n+1，不等式成立
当q≠1时

Sn+Sn+2

2

≤Sn+1
∴

a1(1-qn) 1-q + a1(1-qn+2) 1-q

2

≤

a1(1-qn+1)

1-q

当q＞1时，整理得（q-1）²≤0，不等式无解
当q＜1时，整理得（q-1）²≥0，求得q＜1
最后综合得q的范围为0＜q≤1．
故答案为：0＜q≤1．

点评：本题主要考查了等比数列的求和公式的应用．在使用等比数列的求和公式时要注意q=1时的情况．