Question

已知函数y=tan,

（1）作此函数在一个周期开区间上的简图；

（2）求出此函数的定义域、周期和单调区间；

（3）写出此函数图象的渐近线方程和所有对称中心的坐标.

Answer 1

思路分析：解决本题的关键是利用换元法（令-=z）将问题转化到正切函数y=tanZ的图象和性质上处理，在这里体现出了化归这一重要的数学思想方法.

解：（1）列表：

x	-	…	-			…
-	-	…		0		…
tan（-）	-∞	…	-1	0	1	…	+∞

描点作线画图：

（2）∵-≠+kπ,k∈Z.

∴x≠+2kπ,从而函数的定义域是{x∈R|x≠π+2kπ,k∈Z}.

函数的周期是T==2π.

又∵-+kπ＜-＜+kπ,k∈Z,

∴-+2kπ＜x＜π+2kπ.

故函数的单调增区间是

（-+2kπ，π+2kπ），k∈Z；无减区间.

（3）由-=+kπ，k∈Z得

x=,

故函数图象的渐近线为

x=π+2kπ,k∈Z；

再由-=，k∈Z，

得x=+kπ,

故函数图象的对称中心为（+kπ，0），k∈Z.