Question

数列满足其中.
（I）求，猜想；（II）请用数学归纳法证明之．

Answer 1

（1）1，，，S_n＝.（2）见解析.

第一问中利用数列的赋值思想，由定积分得到 m=1，则可以得到借助于通项公式与前n项和关系求解前几项的和，并猜想得到通项公式。运用数学归纳法加以证明即可。
解（I）　易得：
∵a_n>0，∴S_n>0，
由S₁＝(a₁＋)，变形整理得＝1，
取正根得S₁＝1.
由S₂＝ (a₂＋)及a₂＝S₂－S₁＝S₂－1得
S₂＝ (S₂－1＋)，变形整理得＝2，取正根得S₂＝.
同理可求得S₃＝.由此猜想S_n＝.
（II）用数学归纳法证明如下：
(1)当n＝1时，上面已求出S₁＝1，结论成立．
(2)假设当n＝k时，结论成立，即S_k＝.
那么，当n＝k＋1时，
S_k＋1＝ (a_k＋1＋)＝ (S_k＋1－S_k＋)
＝ (S_k＋1－＋)．
整理得S＝k＋1，取正根得S_k＋1＝.
故当n＝k＋1时，结论成立．(11分)
由(1)、(2)可知，对一切n∈N^*，S_n＝都成立．