Question

19.设a＞0，f(x)=是R上的偶函数.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)证明f(x)在(0,+)上是增函数.

Answer 1

19.本小题主要考查函数的奇偶性和单调性等基本性质，指数函数和不等式的基本性质和运算，以及综合分析问题的能力.

(Ⅰ)解：依题意，对一切xR有f(x)=f(－x),即＋ae^x.

 

所以(a－)(e^x－)=0对一切xR成立.

由此得到a－=0.即a²=1.

又因为a>0,所以a=1.                                  

 

(Ⅱ)证明一：设0＜x₁＜x₂,

f(x₁)－f(x₂)=－+－

 　=(－)(－1)

 　=(－1)·.               

由x₁>0，x₂>0，x₂－x₁>0.得x₁+x₂>0.

 

　－1＞0,1－＜0.

 

∴f(x₁)－f(x₂)<0.

即f(x)在(0,+)上是增函数.                               　

 

证明二：由f(x)=+得f^－1(x)=－=(－1).

 

当x(0,+)时，有>0,－1>0.

此时f^－1(x)>0.

所以f(x)在(0,+)上是增函数.