Question

已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

b

+1．
（1）求函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知向量

a

=(2cosx，sinx)，

b

=(cosx，2

3

cosx)，函数f（x）=

a

•

b

+1．我们根据向量数量积的运算公式及辅助角公式易将函数的解析式化为正弦型函数，根据正弦型函数的性质得到函数f（x）的单调递增区间．
（2）由（1）的结论，结合f（A）=3，我们易求出满足条件的A角的大小，进而根据余弦定理，易求出bc≤1，代入△ABC面积S=

1

2

bcsinA，即可得到△ABC面积S的最大值．

解答：（本题满分14分）
解：（1）因为 f(x)=

a

•

b

=2cosx2+2

3

sinx．cosx+1
=cos2x+

3

sin2x+2------（2分）
=2sin(2x+

π

6

)+2--------（3分）
∴2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)--------（5分）
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)-------（7分）
（2）f（A）=3，∴sin(2A+

π

6

)=10＜A＜π，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

6

-----------（9分）
a²=b²+c²-2bccosA，b²+c²≥2bc∴bc≤1-------------（12分）
∴S=

1

2

bcsinA≤

3

4

∴S的最大值为

3

4

---------（14分）

点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，平面向量数量积坐标表示的应用，其中（1）的关键是根据已知条件，结合向量数量积的运算公式及辅助角公式易将函数的解析式化为正弦型函数，（2）的关键是由已知条件及余弦定理得到bc≤1，是解答本题的关键．