题目内容

在数列{a_n}中，a_n＞0， $数学公式$ ．
（Ⅰ）求出a₁，a₂，a₃
（II）猜想数列通项{a_n}，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）∵a_n＞0， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
由此能解得a₁=1，a₁=-1（舍）．
$\text{[math]}$ ，
∴a₂²+2a₂-1=0，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍）
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍）
∴ $\text{[math]}$
（II）猜想 $\text{[math]}$ ．
①当n=1时，a₁=1，等式成立．
②假设n=k时，等式成立，即 $\text{[math]}$ ，
当n=k+1时， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （舍）
故当n=k+1时，等式成立．
由①②知， $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）分别令n=1，2，3，由a_n＞0， $\text{[math]}$ ，能够求出a₁，a₂，a₃．
（II）猜想 $\text{[math]}$ ，然后由数学归纳法进行证明．
点评：第（Ⅰ）题考查数列中前三项的求法，求解时要注意函数思想的应用；第（II）题考查归纳总结的能力和数学归纳法的证明．解题时要认真审题，仔细解答．