Question

设函数f(x)＝x²＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(Ⅰ)若b＝－12，求f(x)在[1，3]上的最小值；

(Ⅱ)如果f(x)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；

(Ⅲ)是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式恒成立．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 　　b＝－12时，由f(x)＝2x－＝＝0，得x＝2(x＝－3舍去)， 　　当时，，当时，， 　　所以当时，单调递减；当时，单调递增， 　　所以；　5分 　　(Ⅱ)由题意f(x)＝2x＋＝＝0在(－1，＋∞)有两个不等实根，即2x2＋2x＋b＝0在(－1，＋∞)有两个不等实根，设g(x)＝2x2＋2x＋b，则，解之得0＜b＜；　10分 　　(Ⅲ)，则， 　　，所以函数在上单调递增， 　　又时，恒有， 　　即x2＜x3＋ln(x＋1)恒成立．故ln(x＋1)＞x2－x3在x∈(0，＋∞)时恒成立． 　　取x＝∈(0，＋∞)，则有ln(＋1)＞－恒成立．即ln＞恒成立． 　　显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立．　14分