Question

设函数f(x)＝x²－1＋cosx(a>0)．

(1)当a＝1时，证明：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若y＝f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，求正数a的范围．

Answer 1

(1)略　(2)a≥1

解析　(1)证明：当a＝1时，f(x)＝x²－1＋cosx.

令g(x)＝f′(x)＝x－sinx，

g′(x)＝1－cosx≥0，∀x∈(0，＋∞)恒成立．

∴y＝g(x)在(0，＋∞)上是增函数．

∴g(x)>g(0)＝0.

∴f′(x)>0恒成立，∴f(x)在(0，＋∞)为增函数．

(2)f(x)＝x²－1＋cosx，

令h(x)＝f′(x)＝ax－sinx.

∵y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴ax－sinx>0恒成立．

当a≥1时，∀x∈(0，＋∞)，

恒有ax≥x>sinx，满足条件．

当0<a<1时，h′(x)＝a－cosx.

令h′(x)＝0，得cosx＝a，在(0，)内存在x₀，使得cosx₀＝a.

当x∈(0，x₀)时，h′(x)<0.

∴h(x)<h(0)，即f′(x)<f′(0)＝0.

与 ∀x∈(0，＋∞)，f′(x)>0恒成立矛盾．∴a≥1.