Question

19．已知点E（-λ，0）（λ≥0），动点A，B均在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值为0，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{p}{2}$
• B． 0
• C． p
• D． 2p

Answer 1

分析 根据条件，可设$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，从而可以得出向量$\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{EB}$的坐标，进而求出$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$=$[\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2p（p-λ）}{2p}]^{2}$$+\frac{λ（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2p}+2λp-{p}^{2}$，从而由$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$的最小值为0即可求出λ的值．

解答 解：设$A（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}，{y}_{1}），B（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}，{y}_{2}）$，则$\overrightarrow{EA}=（\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}+λ，{y}_{1}），\overrightarrow{EB}=（\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}+λ，{y}_{2}）$；
∴$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}=（\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{2p}）^{2}+\frac{λ{{y}_{1}}^{2}}{2p}$$+\frac{λ{{y}_{2}}^{2}}{2p}+{λ}^{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=$[\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2p（p-λ）}{2p}]^{2}$$+\frac{λ（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2p}+2λp-{p}^{2}$；
∵$\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{EB}$的最小值为0；
∴2λp-p²=0；
∴$λ=\frac{p}{2}$．
故选A．

点评 考查抛物线的标准方程，抛物线上的点的坐标的设法，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算．