题目内容

如果函数f（x）=
1
3
x3-x满足：对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a2恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[-
6
3
，
6
3
]		B．[-
2
3
3
，
2
3
3
]
C．（-∞，-
6
3
]∪[
6
3
，+∞)		D．（-∞，-
2
3
3
]∪[
2
3
3
，+∞）
∵f′（x）=x2-1，
∴当0＜x＜1，f′（x）＜0，
当1＜x＜2，f′（x）＞0，
∴f（x）=
1
3
x3-x在x=1时取到极小值，也是x∈[0，2]上的最小值，即f（x）极小值=f（1）=-
2
3
=f（x）最小值，
又f（0）=0，f（2）=
2
3
，
∴在x∈[0，2]上，f（x）最大值=f（2）=
2
3
，
∵对于任意的x1，x2∈[0，2]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a2恒成立，
∴只需a2≥|f（x）最大值-f（x）最小值|=
2
3
-（-
2
3
）=
4
3
，
∴a≥
2
3
3
或a≤-
2
3
3
．
故选D．
练习册系列答案
相关题目
如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”．
（Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）对于（I）中的函数f（x）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0（a，b）使得
f(b)-f(a)
b-a
=f′（x0）”成立．利用这个性质证明x0唯一；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．
如果函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（-∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是（　　）
如果函数f（x）=
1    ，|x|≤1
-1  ，|x|＞1
，则不等式xf（x）≤0的解集为（　　）
已知函数f（x）=ax2-2x+3，x∈（0，3]．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）如果函数f（x）在定义域内有零点，求实数a的取值范围．
定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（
1
2
）x+（
1
4
）x，
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

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