Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．已知函数f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域，并判断函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，令t=(

1

2

)x，t＞1，则f(x) =g(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

．再根据g（t）的值域为（3，+∞），故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，从而得出结论．  
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立，即-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立．再利用单调性求出-4•2^x-(

1

2

)x 的最大值和2•2^x-(

1

2

)x的最小值，从而得到a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，令t=(

1

2

)x，t＞1，
则f(t)=t2+t+1=(t+

1

2

)2+

3

4

．
∵f（t）在（1，+∞）上单调递增，∴f（t）＞f（1），
即f（x）在（-∞，1 ）上的值域为（3，+∞），
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
所以函数f（x）在（-∞，1）上不是有界函数．  
（2）由题意知，|f（x）|≤3在[1，+∞）上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x，
∴-4•2^x-(

1

2

)x≤a≤2•2^x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴-4•2^x-(

1

2

)x 的最大值小于或等于a，且a小于或等于2•2^x-(

1

2

)x的最小值．
设 2^x=t，h（t）=-4t-

1

t

，p（t）=2t-

1

t

，由x∈[0，+∞） 得 t≥1．
设1≤t₁＜t₂，∵h（t₁）-h（t₂）=

(t2-t1)( 4t1t 2-1)

t1• t2

＞0，
p（t₁）-p（t₂）=

(t1-t2)( 2t1t 2+1)

t1• t2

＜0，
所以，h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴-5≤a≤1，
所以，实数a的取值范围为[-5，1]．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题