Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²+2n，（n∈N^*）
求：（1）数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=a_n•3ⁿ，求数列{b_n}的前n项和 T_n．

Answer 1

分析 （1）由${S_n}={n^2}+2n，n∈{N^*}$，当n=1时，a₁=S₁=3．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）由（1）可得，${b_n}=（2n+1）•{3^n}$．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵${S_n}={n^2}+2n，n∈{N^*}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=3．
$当n≥2时，{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=（{n^2}+2n）-[{（n-1）^2}+2（n-1）]=2n+1$（*），
显然，当n=1时也满足（*）式，
综上所述，${a_n}=2n+1，（n∈{N^*}）$．
（2）由（1）可得，${b_n}=（2n+1）•{3^n}$．
其前n项和${{T}_n}=3×3+5×{3^2}+7×{3^3}+…+（2n+1）•{3^n}$①
则 $3{{T}_n}=3×{3^2}+5×{3^3}+7×{3^4}+…+（2n+1）•{3^{n+1}}$②
①-②得，$-2{{T}_n}=9+2（{3^2}+{3^3}+{3^4}+…+{3^n}）-（2n+1）•{3^{n+1}}$
=$9+2×\frac{{9（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}-（2n+1）•{3^{n+1}}$
=-2n•3ⁿ⁺¹，
∴${T_n}=n•{3^{n+1}}$．

点评 本题考查了递推关系、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．