Question

如图，F₁、F₂是椭圆C₁：＋y²＝1与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点．若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是(　　)

A.                                                           B.

C.                                                             D.

Answer 1

　D

[解析]　不妨设双曲线方程为－＝1.

由题意知|BF₁|－|BF₂|＝2a⇒|BF₁|²＋|BF₂|²－2|BF₁|·|BF₂|＝4a²，①

并由勾股定理得|BF₁|²＋|BF₂|²＝4c²＝12，②

由①②知12－4a²＝2|BF₁|·|BF₂|，

∴|BF₁|·|BF₂|＝6－2a².下面求|BF₁|·|BF₂|的值．

在椭圆中|BF₁|＋|BF₂|＝4，故|BF₁|²＋|BF₂|²＋2|BF₁|·|BF₂|＝16，

又由②知|BF₁|²＋|BF₂|²＝4c²＝12，

∴|BF₁|·|BF₂|＝2，因此有c²－a²＝1，

∵c²＝3，∴a²＝2，∴C₂的离心率e＝＝.