Question

如图，有一个以圆心角为60°，半径为的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在半径OA上，点N，M在半径OB上，将该扇形湖面内隔为四个养殖区域．设矩形PNMQ区域的面积为y；
（1）当∠POB=45°时，求矩形PNMQ的面积；
（2）设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

解：（1）当∠POB=45°时，∵，
∴，，
又，
∴，…（3分），
所以矩形的面积=MN×PN=×．…（5分）
（2）因为，，，
所以…（7分）
∴，即，（9分）
∴，…（12分）
∵，∴…（13分）
所以．…（14分）
分析：（1）分别计算MN、PN，即可求得矩形的面积=MN×PN；
（2）计算PN、MN的长，从而可得面积表达式，再利用辅助角公式化简函数，利用角的范围，即可求得面积的最大值．
点评：本题考查矩形面积的计算，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，属于中档题．