Question

如图，有一个以圆心角为60°，半径为

3

km的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在半径OA上，点N，M在半径OB上，将该扇形湖面内隔为四个养殖区域．设矩形PNMQ区域的面积为y；
（1）当∠POB=45°时，求矩形PNMQ的面积；
（2）设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）分别计算MN、PN，即可求得矩形的面积=MN×PN；
（2）计算PN、MN的长，从而可得面积表达式，再利用辅助角公式化简函数，利用角的范围，即可求得面积的最大值．

解答：解：（1）当∠POB=45°时，∵PO=

3

，
∴PN=

3

sin45°=

6

2

，ON=

3

cos45°=

6

2

，
又OM=QMtan30°=

6

2

×

3

3

=

2

2

，
∴MN=ON-OM=

6 - 2

2

，…（3分），
所以矩形的面积=MN×PN=

6 - 2

2

×

6

2

=

3- 3

2

．…（5分）
（2）因为PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ，OM=

3

3

×

3

sinθ=sinθ，
所以MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ…（7分）
∴y=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)，即y=3sinθcosθ-

3

sin2θ，(θ∈(0，

π

3

))（9分）
∴y=3sinθcosθ-

3

sin2θ=

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

，…（12分）
∵θ∈(0，

π

3

)，∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)…（13分）
所以ymax=

3

2

．…（14分）

点评：本题考查矩形面积的计算，考查三角函数知识，考查学生的计算能力，属于中档题．