Question

【题目】已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，

（1）求f（x）的解析式；

（2）设g（x）=f（2x）﹣m2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）

【解析】

（1）因为函数f（x）为二次函数，所以可设函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c，且 ，利用条件求系数即可；（2）根据（1）所求的二次函数的解析式可写出函数g（x）=f（2x）﹣m2x+1的解析式，整理可得，，令t=2x，可构造关于t的二次函数，进而可求其最小值。

解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且 。

因为f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，

所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x

故有，即a=1，b=﹣2，c=﹣1，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；

（2）g（x）=f（2x）﹣m2x+1= ，

设t=2x，t∈[1，2]，

∴g（t）=t2﹣（2m+2）t﹣1=[t﹣（m+1）]2﹣（m2+2m+2），

①当m+1＞2，即m＞1时，g（t）=t2﹣(2m+2) t﹣1在[1，2]减函数，当t=2时，g（t）min=﹣4m﹣1，

②当m+1＜1，即m＜0时，g（t）=t2﹣(2m+2)t﹣1在[1，2]增函数，当t=1时，g（t）min=﹣2m﹣2，

③当0≤m≤1时，当t=m+1时，g（t）min=﹣（m2+2m+2），

综上所述：g（x）min=．