题目内容
【题目】已知数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
（n∈N*）
（Ⅰ）证明当n≥2时，数列{nan}是等比数列，并求数列{an}的通项an；
（Ⅱ）求数列{n2an}的前n项和Tn；
（Ⅲ）对任意n∈N*，使得
恒成立，求实数λ的最小值．
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
(Ⅲ) 
【解析】
（Ⅰ）要证明数列{nan}是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可。由等比数列通向公式可求得数列{nan}的通项公式，进而可求数列{an}的通项an；（Ⅱ）要求数列{n2an}的前n项和Tn，应根据（Ⅰ）的结果求其通项公式
，由通项公式的特点可用错位相减法求数列从第二项到第n项的和，再加第一项可得结果；（Ⅲ） 根据（Ⅰ）的结果，不等式
可变为
，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为。可求实数λ的最小值为。
（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=
，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=
（n≥2），
①﹣②：
，即
（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，
又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=
，得a2=1，则2a2=2，∴
，
∴
（n≥2），∴
；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
，
∴Tn=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n﹣2，则
，
两式作差得：
，得：；
（Ⅲ）解：由
≤（n+6）λ，得
≤（n+6）λ，
即
对任意n∈N*恒成立．
当n=2或n=3时n+
有最小值为5，
有最大值为
，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．
【题目】（本题14分）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（
吨）与相应的生产能耗
（吨）标准煤的几组对照数据：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请画出上表数据的散点图；并指出x，y 是否线性相关；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；
（3）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式
，
）
