Question

如图是一个2013×2013阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元素100在此矩阵中总共出现了

6

 次．

Answer 1

分析：对题中矩阵进行观察，可得该矩阵从第二行起，第k（k≥2）行的数构成以1为首项、公差为k-1的等差数列，利用等差数列的通项公式，算出第k（k≥2）行、第m个数为a_km=mk-（m+k）+2．再对a_km=100的整数解加以计算，可得总共有6组k、m使得等比成立，由此可得本题答案．

解答：解：根据题意，该矩阵的第一行和第一列的数字均为1，
从第二行起，有如下规律：
第k（k≥2）行的数构成以1为首项、公差d_k=k-1的等差数列．
∴该矩阵的第k（k≥2）行、第m个数为a_km=1+（m-1）（k-1）=mk-（m+k）+2．
令mk-（m+k）+2=100，可得mk-（m+k）=98，得m=

98+k

k-1

=1+

99

k-1

，
∵m、k是正整数，且k≥2、m≥2，
∴k-1为99的正约数，可得k-1=1，3，9，11，33，99，共6种情况．
当k=2时，m=100；当k=4时，m=34；当k=10时，m=12；k=12时，m=10；k=34时，m=4；k=100时，m=2．
由此可得：共有6组m、n值满足上述等式成立．
因此，元素100在此矩阵中总共出现了6次．
故选：6

点评：本题给出特殊的矩阵，求数100在该矩阵中出现的次数，考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于中档题．