Question

3．已知B₁、B₂是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）短轴上的两个顶点，点P是椭圆上不同于短轴端点的任意一点，点Q与点P关于y轴对称，则下列四个命题中，其中正确的是②③．
①直线PB₁与PB₂的斜率之积为定值-$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$；
②$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$＞0；
③△PB₁B₂的外接圆半径的最大值为$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}$；
④直线PB₁与QB₂的交点M的轨迹为双曲线．

Answer 1

分析 ①设P（x₀，y₀），则${k}_{P{B}_{1}}•{k}_{P{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$，即可判断出正误；
②由于点P在圆x²+y²=b²外，可得${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-{b}^{2}$＞0，利用数量积运算性质可得：$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x₀，-b-y₀）•（-x₀，b-y₀）=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-{b}^{2}$，即可判断出正误；
③当点P在长轴的顶点上时，∠B₁PB₂最小且为锐角，设△PB₁B₂的外接圆半径为r，由正弦定理可得：2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}A{B}_{2}}$=$\frac{2b}{sin2∠OA{B}_{2}}$=$\frac{2b}{\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a}$，即可判断出正误；
④直线PB₁的方程为：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x$，直线QB₂的方程为：$y-b=\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}x$，两式相乘可得：y²-b²=$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{-{x}_{0}^{2}}$x²，化为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，即可判断出正误．

解答 解：①设P（x₀，y₀），$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，则${k}_{P{B}_{1}}•{k}_{P{B}_{2}}$=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}•\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}$=$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{{x}_{0}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，因此不正确；
②∵点P在圆x²+y²=b²外，∴${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-{b}^{2}$＞0，∴$\overrightarrow{P{B}_{1}}$•$\overrightarrow{P{B}_{2}}$=（-x₀，-b-y₀）•（-x₀，b-y₀）=${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}-{b}^{2}$＞0，正确；③当点P在长轴的顶点上时，∠B₁PB₂最小且为锐角，设△PB₁B₂的外接圆半径为r，由正弦定理可得：
2r=$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}P{B}_{2}}$≤$\frac{2b}{sin∠{B}_{1}A{B}_{2}}$=$\frac{2b}{sin2∠OA{B}_{2}}$=$\frac{2b}{\frac{2ab}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a}$．∴$r≤\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}$，
∴③△PB₁B₂的外接圆半径的最大值为$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2a}$，正确；
④直线PB₁的方程为：y+b=$\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x$，直线QB₂的方程为：$y-b=\frac{{y}_{0}-b}{-{x}_{0}}x$，两式相乘可得：y²-b²=$\frac{{y}_{0}^{2}-{b}^{2}}{-{x}_{0}^{2}}$x²，
化为$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$=1，由于点P不与B₁，B₂重合，∴M的轨迹为双曲线的一部分，∴④不正确．
故答案为：②③．

点评 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、正弦定理、三角形外接圆半径、直线相交问题、双曲线的标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．