Question

8．（1）已知f（x+$\frac{1}{x}$）=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$，求f（x）的表达式；
（2）给出函数y=x+$\frac{a}{x}$（a＞0）的单调性；在（-∞，-$\sqrt{a}$]，[$\sqrt{a}$，+∞）上单调递增，在[（-$\sqrt{a}$，0），（0，$\sqrt{a}$）]上单调递减，利用这一结论，求第（2）问中所得f（x）的定义域．

Answer 1

分析 （1）首先，借助于立方和公式化简，然后，再借助于配方法进行处理，最后整体换元即可；
（2）根据（1），借助于所给函数的单调性求解器范围即可．

解答 解：（1）∵f（x+$\frac{1}{x}$）=x³+$\frac{1}{{x}^{3}}$，
=（x+$\frac{1}{x}$）（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$-1）
=（x+$\frac{1}{x}$）[（x+$\frac{1}{x}$）²-3]，
∴f（x）=x（x²-3）
=x³-3x，（x≤-2或x≥2）．
∴f（x）=x³-3x，（x≤-2或x≥2）．
（2）根据（1），知
令t=x+$\frac{1}{x}$，
根据所给信息，得到该函数，
在（-∞，-1]，[1，+∞）上单调递增，在（-1，0），（0，1）上单调递减，
∴t≤-2或t≥2，
∴f（x）的定义域为：（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评 本题重点考查了函数的基本性质、解析式的求解方法、换元法在求解函数解析式中的应用等知识，属于中档题．