Question

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）若直线l不过点M，试问k_MA+k_MB是否为定值？并说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，∴，-----------------------------------------------------（2分）
依题意设椭圆方程为：
把点（4，1）代入，得b²=5
∴椭圆方程为---------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）把y=x+m代入椭圆方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
由△＞0可得64m²-20（4m²-20）＞0
∴-5＜m＜5---------------------------------------------------（6分）
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=，-----------------------（8分）
∴k_MA+k_MB=+==0，
∴k_MA+k_MB为定值0．------------------（12分）
分析：（Ⅰ）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程；
（Ⅱ）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围；
（Ⅲ）由方程可得到两根之和、两根之积，从而可求直线MA，MB斜率之和，化简可得结论．
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，一元二次方程根与系数的关系，体现了等价转化的数学思想．