Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线(为参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程，点在直线上，直线与曲线交于两点．

（1）求曲线的普通方程及直线的参数方程；

（2）求的面积．

Answer 1

【答案】（1），(为参数)；（2）．

【解析】

（1）消参将曲线的参数方程化为普通方程，再将的极坐标方程先化为一般方程，再化为参数方程；

（2）联立直线与椭圆方程，求出弦长，再求点到的距离，求出的面积.

（1）将曲线，消去参数得，曲线的普通方程为，

∵点在直线上，∴，

∴，展开得，

又，，∴直线的直角坐标方程为，

显然过点，倾斜角为，∴直线的参数方程为（为参数）．

（2）由（1），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得：

，整理得，显然，

设对应的参数为，，则由韦达定理得，，

由参数的几何意义得，

又原点到直线的距离为，

因此，的面积为．