Question

【题目】如图，已知椭圆的一个顶点为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭园C交于，两点，直线与线的斜率之积为，证明：直线过定点，并求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，的面积的最大值.

【解析】

（1）求出后可得椭圆的方程.

（2）设MN：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，△＞0．由kBMkBN

利用根与系数的关系代入化简可得：m2+2m﹣3＝0，解得m．再求得|MN|，点B到直线MN的距离d，可得S△BMN，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．

（1）因为一个顶点为，故，又离心为，故即，

所以，故椭圆方程为：.

（2）若直线的斜率不存在，则设，

此时，与题设条件矛盾，故直线的斜率必存在.

设MN：y＝kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，

△＝16（4k2﹣m2+1）＞0，

∴x1+x2，∴x1x2．

∵kBMkBN

∴x1x2+k（m﹣1）（x1+x2）+（m﹣1）2＝0，

∴k（m﹣1）（m﹣1）2＝0，

化为m2+2m﹣3＝0，解得m＝﹣3或m＝1（舍去）．

即直线过定点（0，﹣3）

∴|MN|

点B到直线MN的距离d．

∴S△BMNMNd．

由m＝﹣3，△＞0，可知：k2﹣2＞0，令t＞0，

∴k2＝t2+2，

∴S，当且仅当t，即k＝±时，Smax．