Question

求sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°的值.

Answer 1

思路分析：可综合利用三角变换直接求值，也可以构造该式子的对偶式，利用该式和它的对偶式的和与差求值.

解法一：原式=［sin（20°+80°）+sin（20°-80°）］

=1-（cos40°-cos160°）+sin100°-sin60°

=1+sin·sin+sin100°-

=1-sin100°+sin100°-=.

解法二：令M=sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°，则其对偶式为N=cos²20°+sin²80°+

cos20°sin80°.

∵M+N=（sin²20°+cos²20°）+（cos²80°+sin²80°）+（sin20°cos80°+cos20°sin80°）

=1+1+sin（20°+80°）=2+sin100°，                                                              ①

M-N=（sin²20°-cos²20°）+（cos²80°-sin²80°）+（sin20°cos80°-cos20°sin80°）

=-cos40°+cos160°+sin（20°-80°）

=cos160°-cos40°-

=-2sinsin-

=-sin100°-,                                                                                                    ②

由①+②，得2M=，∴M=.

∴sin²20°+cos²80°+sin20°cos80°=.