Question

ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，＜C＜，且．

（1）判断△ABC的形状

（2）若，求的取值范围、

Answer 1

考点：

平面向量数量积的运算；向量的模；三角函数中的恒等变换应用．

专题：

计算题．

分析：

本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，倍角公式，解三角形，平面向量的数量积运算，向量的模等知识点．

（1）要判断△ABC的形状，我们可由，结论正弦定理边角互化的原则，将式子中边全部化为对应角的正弦值，然后根据两角和与差的正弦公式，倍角公式，得到sinB=sin2C，又由因为，我们易判断三角形的形状．

（2）由，两边平方后，根据（1）的结论，我们可求出B的表达式及取值范围，进而求出的取值范围．

解答：

解：（1）

⇒sinBsinA﹣sinBsin2C=sinAsin2C﹣sinBsin2C

⇒sinB=sin2C，

因为，

所以B=π﹣2C⇒B+C=π﹣C⇒π﹣A=π﹣C⇒A=C

即△ABC为等腰三角形．

（2）因为

所以，

而

所以

点评：

要根据某个恒成立的三角函数关系式，判断三角形的形状，一般的思路是分析角与角的关系，如果有三个角相等，则为等边三角形；如果只能得到两个角相等，则为普通的等腰三角形；如果两个角和为90°，或一个角为90°，则为直角三角形．