Question

在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，sinA=

4

5

，A∈(

π

2

，π)，a=

41

，S_△ABC=4．
（Ⅰ）求cos(A-

π

4

)的值；
（Ⅱ）求b+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由A的范围以及sinA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
（Ⅱ）利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积及sinA代入求出bc的值，再利用余弦定理列出关系式，变形后将a，cosA，bc的值代入求出b+c的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵A∈（

π

2

，π），sinA=

4

5

，
∴cosA=-

1-sin2A

=-

3

5

，
∴cos（A-

π

4

）=

2

2

（cosA+sinA）=

2

10

；
（Ⅱ）∵S_△ABC=4，sinA=

2

10

，
∴

1

2

bcsinA=4，即bc=10，
∵a²=b²+c²-2bccosA，a=

41

，
∴b²+c²=29，
∴（b+c）²-2bc=29，
即（b+c）²=49，
开方得：b+c=7．

点评：此题考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．