Question

已知△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2

B

2

=

3

sinB，b=1．
（1）若A=

5π

12

，求边c的大小；   
（2）求AC边上高的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简已知等式，求出角B，进一步求出角C，利用三角形的正弦定理求出边c的值．
（2）设出AC边上高，利用三角形的面积公式列出等式，得到高h与边a，c的关系，利用余弦定理得到三角形的三边间的关系，利用基本不等式求出ac的范围，进一步求出高的取值范围．

解答：解：（1）1+cosB=

3

sinB，
∴2sin(B-

π

6

)=1，
sin(B-

π

6

)=

1

2

所以B-

π

6

=

π

6

或

5π

6

（舍），
得B=

π

3

A=

5π

12

，则C=

π

4

，
∵

c

sinc

=

b

sinB

，
得c=

6

3

（2）设AC边上的高为h，
S△ABC=

1

2

bh=

1

2

h，
S△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac，
∴h=

3

2

ac
又b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac≥ac，
∴ac≤1
∴h=

3

2

ac≤

3

2

，
当a=c时取等号
所以AC边上的高h的最大值为

3

2

．

点评：求三角形的边、角问题，一般利用三角形的正弦定理、余弦定理来解决；利用基本不等式求函数的最值问题，一定注意使用的条件：一正、二定、三相等．