Question

已知函数．
（1）若是偶函数，在定义域上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)
(2)

试题分析：解:（1）是偶函数，即，  
又恒成立即
当时   
当时，，  
当时，， 
综上：                 
（2）
是偶函数，要使在上是减函数在上是增函数，即只要满足在区间上是增函数在上是减函数 ．
令，当时；时，由于时，
是增函数记，故与在区间上有相同的增减性，当二次函数在区间上是增函数在上是减函数，其对称轴方程为．
点评：主要是考查了函数奇偶性和单调性以及不等式的恒成立问题的综合运用，属于基础题。