Question

【题目】已知三次函数在和处取得极值，且在处的切线方程为.

（1）若函数的图象上有两条与轴平行的切线，求实数的取值范围；

（2）若函数与在上有两个交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)求导后根据,且,可求得切线方程为,代入切点即可求得,进而得到,再根据函数的图象上有两条与轴平行的切线可知有两个不相等的实数根,进而利用判别式求解即可.

(2)题意等价于在上有两个不同的解.构造,,求导分析函数的单调性与最值,进而数形结合可求得的取值范围即可.

（1）,

由题得,且,

即解得,.

于是,即,

故切线方程为.

因为切点在切线上,所以,

将代入,解得,

.

.

由题得有两个不相等的实根,

,

解得.

（2）由题得在上有两个不同的解,

即在上有两个不同的解.

令,,

则,

由得或,

由得,

因为,所以在上单调递增,在上单调递减,

.

,,

,

由图象知.