题目内容
【题目】如图所示，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，
，
，
，
为
的中点，
为棱
上的一点.
（1）证明：面
面；
（2）当为中点时，求二面角
余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）要证明面
面
，只需证明
面即可；
（2）以
为坐标原点，以
，
，
分别为
，
，
轴建系，分别计算出面
法向量
，面
的法向量
，再利用公式计算即可.
证明：（1）因为底面为正方形，所以
又因为
，
，满足
，
所以
又
，
面，
面，
，
所以面.
又因为
面
，所以，面面.
（2）由（1）知，，两两垂直，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建系如图所示，
则
，
，
,
，
则
，
.
所以
，
，
，
，
设面法向量为
，则由
得
，
令
得
，
，即
；
同理，设面的法向量为
，
则由
得
，
令
得
，
，即
，
所以
，
设二面角
的大小为
，则
所以二面角余弦值为.
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