Question

已知定义在区间[-π，

2

3

π]上的函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ≤π）的图象关于直线x=-

π

6

对称，当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，f（x）的图象如图所示．
（1）求f（x）在[-π，

2

3

π]上的表达式；
（2）求方程f（x）=

2

2

的解．

Answer 1

分析：（1）由图知：A=1，T=4（

2π

3

-

π

6

），可得ω的值，然后分类讨论：当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，代点可得φ值，可得解析式，同理可得当x∈[-π，-

π

6

]时的解析式，综合可得；（2）由解析式可得函数在区间[-

π

6

，

2π

3

]的解，结合对称性可得函数在对称区间的解，综合可得．

解答：解：（1）由图知：A=1，T=4（

2π

3

-

π

6

）=2π，∴ω=

2π

T

=1
当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，将（

π

6

，1）代入f（x）得f（

π

6

）=sin（

π

6

+φ）=1，
又0＜φ≤π，∴φ=

π

3

，
∴当x∈[-

π

6

，

2π

3

]时，f（x）=sin（x+

π

3

）
同理可得当x∈[-π，-

π

6

]时，f（x）=sin（x+π）=-sinx
综上可得，f（x）=

sin(x+ π 3 )，x∈[- π 6 ， 2π 3 ] -sinx，         x∈[-π，- π 6 ]

（2）由f（x）=

2

2

在区间[-

π

6

，

2π

3

]内可得x₁=

5π

12

，x₂=-

π

12

，
∵y=f（x）图象关于直线x=-

π

6

对称，
∴x₃=-

π

4

，x₄=-

3π

4

，
∴f（x）=

2

2

的解为：

5π

12

，-

π

12

，-

π

4

，-

3π

4

．

点评：本题考查三角函数解析式的确定，涉及分类讨论的思想和函数图象的对称性，属中档题．