Question

已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1，求f（x）在[2，9]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）由定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），当x₁=x₂时，能求出f（1）．
（2）设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），由x₁＞x₂，知

x1

x2

＞1，当x＞1时，f（x）＜0，由此能推导出f（x）在区间（0，+∞）是减函数．
（3）由f（1）=O，f（3）=-1，知f（

1

3

）=f（1）-f（3）=1，f（9）=f（3÷

1

3

）=f（3）-f（

1

3

）=-2，由f（x）在区间（0，+∞）是减函数，能求出f（x）在[2，9]上的最小值．

解答：解：（1）∵定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（

x1

x2

）=f（x₁）-f（x₂），
∴当x₁=x₂时，f（1）=O．
（2）f（x）是减函数．
证明：设x₁＞x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

），
∵x₁＞x₂，∴

x1

x2

＞1，
∵当x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在区间（0，+∞）是减函数．
（3）∵f（1）=O f（3）=-1，
∴f（

1

3

）=f（1）-f（3）=0-（-1）=1，
∴f（9）=f（3÷

1

3

）=f（3）-f（

1

3

）=-1-1=-2，
∵f（x）在区间（0，+∞）是减函数，
∴f（x）在[2，9]上的最小值为f（9）=-2．

点评：本题考查抽象函数的函数值、单调性、最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．