题目内容

已知数列：1
1
2
，3
1
4
，5
1
8
，7
1
16
…的前n项和Sn=
n2+1-
1
2n
n2+1-
1
2n
．
分析：将Sn=1
1
2
+3
1
4
+5
1
8
+7
1
16
+…分组为1+3+5+7+…+（2n-1）+（
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+…+
1
2n
），再分别利用等差数列，等比数列求和公式计算．
解答：解：Sn=1
1
2
+3
1
4
+5
1
8
+7
1
16
+…
=1+3+5+7+…+（2n-1）+（
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+…+
1
2n
）
=
2n×n
2
+
1
2
[1-(
1
2
)n]
1-
1
2

=n2+1-
1
2n

故答案为：n2+1-
1
2n
点评：本题考查数列求和，涉及到的方法为公式法、分组法．属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成以
Bn为顶点的等腰三角形．
（1）求{yn}的通项公式，且证明{yn}是等差数列；
（2）试判断xn+2-xn是否为同一常数（不必证明），并求出数列{xn}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 &(k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）已知，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞(-1)n-12λ+nlog32-1-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
已知点列B1（1，y1）、B2（2，y2）、…、Bn（n，yn）（n∈N）顺次为一次函数y=
1
4
x+
1
12
图象上的点，点列A1（x1，0）、A2（x2，0）、…、An（xn，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点An、Bn、An+1构成一个顶角的顶点为Bn的等腰三角形．
（1）求数列{yn}2的通项公式，并证明{yn}3是等差数列；
（2）证明xn+2-xn5为常数，并求出数列{xn}6的通项公式；
（3）问上述等腰三角形An8Bn9An+110中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．
（2014•长宁区一模）设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx
 (k∈R)
，对任意实数x，有f（x）≤6x+2恒成立；数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）证明：当an∈(0，
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)时，数列{an}在该区间上是递增数列；
（3）已知a1=
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，是否存在非零整数λ，使得对任意n∈N*，都有log3(
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1
2
-a1
)+log3(
1
1
2
-a2
)+…+log3(
1
1
2
-an
)＞-1+（-1）n-12λ+nlog32恒成立，若存在，求之；若不存在，说明理由．
已知二次函数f（x）=-2x2+2x，数列{an}满足an+1=f（an）．
（1）试写出一个区间（a，b），使得当a1∈（a，b）时，数列{an}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（2）令bn=
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-an，试证明数列{lgbn+lg2}是等比数列
（3）已知，记Sn=log3(
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-a1
)+log3(
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1
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-a2
)+…+log3(
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1
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-an
)，是否存在非零整数λ，使Sn2n+（log32）n-1＞（-1）n-12λ+nlog32-1nlog32-1对任意的n∈N*恒成立？如果存在，求出λ的值，如果不存在，请说明理由．

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