Question

【题目】已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）是定值．

【解析】

试题（1）先利用抛物线的定义求出点的横坐标，然后将点的横坐标代入抛物线的方程并结合点所在的象限得到点的坐标，先计算出的长度，然后利用双曲线的定义计算出的值，由确定的值，从而得到双曲线的方程；（2）对直线的斜率存在与否分两种情况讨论，对直线的斜率不存在时进行验证，在直线的斜率存在时，先假设直线的方程，然后根据直线与的位置关系得到直线的方程，并求出圆心到两直线的距离，根据圆的半径长、直线截圆的弦长和圆心距三者之间的关系求出两直线截圆的弦长、，并进行验证是否为定值.

试题解析：（1）∵抛物线的焦点为，

∴双曲线的焦点为、， 1分

设在抛物线上，且，

由抛物线的定义得，，∴，∴，∴， 3分

∴， 4分

又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：

，∴， ∴双曲线的方程为：． 6分

（2）为定值．下面给出说明．

设圆的方程为：， ∵圆与直线相切，

∴圆的半径为，故圆：． 7分

显然当直线的斜率不存在时不符合题意， 8分

设的方程为，即，

设的方程为，即，

∴点到直线的距离为，

点到直线的距离为， 10分

∴直线被圆截得的弦长， 11分

直线被圆截得的弦长， 12分

∴， 故为定值． 14分