Question

【题目】已知函数（是常数）.

（1）若，求函数的值域；

（2）若为奇函数，求实数.并证明的图像始终在的图像的下方；

（3）设函数，若对任意，以为边长总可以构成三角形，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）；证明见解析（3）

【解析】

（1）把代入后反解可得，解分式不等式即可；

（2）直接利用奇函数的定义代入即可求解，利用作差法即可证明结论；

（3）由题意可得，结合，利用换元法转化为，，再结合二次函数的性质即可.

（1）由题意，（是常数），

当时，此时，即，整理可得，

因，则，即，

解得，

故函数的值域为.

（2）由题意，为奇函数，则，即，

化简得，

∵恒不为零，

∴且，解得，此时，

∴，

即的图像始终在的图像的下方.

（3）由题意，得，，

令，则，其对称轴为，

①当，即时，此时单调递减，

∴，即，

解得或，

∴；

②当，即时，此时先减后增左端点高，

∴即，无解；

③当，即时，此时先减后增右端点高，

∴即，无解；

④当，即时，此时单调递增，

∴即，

解得或，

∴；

综上，.