Question

【题目】为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数都在内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”)时，发现满足.

（1）试确定的所有取值，并求；

（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在的参赛者评为一等奖；分数在的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生和均参加了本次比赛，且学生在第一阶段评为二等奖.

（）求学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；

（）已知学生和都获奖，记两位同学最终获得一等奖的人数为，求的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（）；（）分布列见解析，.

【解析】

（1）在内，按组距为5可分成6个小区间，分别是,,，，，.由，，能求出的所有取值和；

（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.学生的分数属于区间，，，，，的概率分别是，，，，，.用符号或（）表示学生 （或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中，记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，由此能求出学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级的概率；

（）学生最终获得一等奖的概率是，学生最终获得一等奖的概率是，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，求出的分布列和.

（1）根据题意，在内，按组距为5可分成6个小区间，

分别是，

，

由，.

每个小区间的频率值分别是.

由，解得.

的所有取值为，.

（2）（）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率.

由（1）知，学生的分数属于区间的概率分别是：，，，，，.

我们用符号（或)表示学生（或）在第一轮获奖等级为，通过附加赛最终获奖等级为，其中.

记“学生最终获奖等级不低于学生的最终获奖等级”为事件，

则

.

（）学生最终获得一等奖的概率是，

学生最终获得一等奖的概率是，

，

，

，

的分布列为：

.